Cours et outils mathématiques 

CPGE TSI2

Le site de la prépa TSI du Mans.

📃Compétences et programme.

📃Aide-mémoire Python au service des mathématiques : numpy, scipy, sympy.

Algèbre linéaire 
et géométrie euclidienne
Analyse, géométrie différentielle 
et probabilités
📃Compléments d'algèbre linéaire
Produit matriciel vu comme combinaison linéaire de colonnes. (GeoGebraTube) : gif animé  
Changement de base et opérations matricielles. (GeoGebraTube)
Endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 2 : parallélogramme et configuration de Thalès.
Projection sur un plan parallèlement à une droite. (GeoGebraTube)
💻Base du noyau, rang et base de l'image d'une matrice par Sympy Live
💻Base du noyau, rang et base de l'image d'une matrice par Sage Cell Server
💻Echelonnement et réduction en lignes d'une matrice augmentée par la méthode du pivot de Gauss : lien Sympy Live ou Sage Cell Server  source : pivot_matrice_augmentee.py
💻Echelonnement et réduction par opérations matricielles à gauche (GA=R) : lien Sympy Live ou  Sage Cell Server source : pivot_GA=R.py
💻Exemple de changement de base pour les polynômes : lien Sympy Live ou Sage Cell Server source : chgt_de_base_poly.py

📃Déterminants
💻Calcul récursif du déterminant d'une matrice carrée

📃Réduction d'endomorphismes
Endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 2. (GeoGebraTube)
Champ de vecteurs associé à un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 2. (GeoGebraTube)
💻Réduction matricielle par Wolfram Alpha
💻Réduction matricielle par Sympy Gamma
💻Suites définies par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 (Wolfram Alpha)
Suite définie par une relation de récurrence linéaire homogène d'ordre 2 (GeoGebraTube)
Racines n-ièmes d'un nombre complexe :
dans le plan complexe (GeoGebraTube)
💻forme exponentielle Sympy Liveracines_n_iemes.py
💻forme algébrique Sage Cell, racines_n_iemes_forme_algebrique.py
📃Fonctions vectorielles et courbes paramétrées
Courbe de Bezier (Sage Cell Server)  (GeoGebraTube)
Cycloïdes (GeGebraTube)
💻Courbe paramétrée (Matplotlib sur Sage Cell Server)
💻Courbe paramétrée et vecteur vitesse (Sage Cell Server)
Courbe paramétrée (GeoGebraTube)
💻Dérivation formelle (Sympy Gamma)
💻Développement limité en 0 (Sympy Gamma)
💻Développement limité en a (Sage Cell Server)

📃Intégration d'une fonction continue sur un intervalle
💻Intégration numérique par la méthode des trapèzes
💻Primitive formelle (Sympy Gamma)
💻Intégration formelle (Sympy Gamma)
Suites numériques
Suite définie par une relation de récurrence du type un+1=f(un) GeoGebraTube
💻Suite définie par une relation de récurrence du type un+1=f(un) (Sage Cell Server): Code utilisant numpy et matplotlib.
Approximation des solutions de l'équation f(x)=0 par la méthode de Newton.
Approximation des solutions de l'équation f(x)=0 par la méthode de dichotomie.

📃Séries numériques
Série géométrique réelle. (GeoGebraTube)
Série géométrique complexe. (GeoGebraTube)
💻Sommation numérique (Sympy Live)
💻Sommation formelle (Sympy Gamma)
💻Développement décimal illimité périodique d'un rationnel, Sage Cell Server, source.

📃Séries entières
💻Sommation formelle (Sympy Gamma)
💻Widget series Wolfram Alpha
Série entière de variable réelle. (GeoGebraTube)
Série entière de variable complexe. (GeoGebraTube)

📃Séries de Fourier
Série de Fourier. (GeoGebraTube)
Série de Fourier d'une fonction impaire.(GeoGebraTube)
Série de Fourier d'une fonction paire.(GeoGebraTube)
💻 Pour tester la convergence ponctuelle d'une série de Fourier  (SageCellServer)
💻 Calcul formel des coefficients de Fourier (SageCellServer)
💻 Calcul formel des coefficients de Fourier pour une fonction paire (SageCellServer)
💻 Calcul formel des coefficients de Fourier pour une fonction paire (SageCellServer)
📃 Equations différentielles
Système différentiel linéaire à coefficients constants. (GeoGebraTube)
💻 Solution formelle d'un système différentiel linéaire avec condition initiale (Sympy)
Equation différentielle linéaire du premier ordre : méthode d'Euler.(GeoGebraTube)
Equation différentielle linéaire du premier ordre : solution exacte. (GeoGebraTube)
Courbe paramétrée par e^(zt)
💻 Solution formelle d'une équation différentielle linéaire avec second membre, avec ou sans conditions initiales (Sympy Live)
Equation différentielle linéaire du second ordre.(GeoGebraTube)
💻 Solutions formelles d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre avec ou sans conditions initiales (Sympy Live)
Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens

📃Structure préhilbertienne
Les étapes de l'algorithme de Gram-Schmidt en gif animé
💻Dans Rn, orthonormalisation de Gram-Schmidt, projection et distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie: Sympy live, code utilisant sympycode utilisant numpy.
💻Pour les espaces de fonctions, orthonormalisation de Gram-Schmidt, projection et distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie:  Sympy Live ou Sage Cell Server source : projection_pour_les_fonctions.py

📃Isométries d'un espace euclidien
Isométrie vectorielle d'un espace euclidien de dimension 2. (GeoGebraTube)
Isométrie vectorielle d'un espace euclidien de dimension 3. (GeOGebraTube)
💻Classification du groupe orthogonal en dimension 2 (Sympy)
💻Classification du groupe orthogonal en dimension 3 (Sympy)

📃 Fonctions de plusieurs variables
Surface d'équation z=f(x,y), applications partielles (GeoGebraTube)
Plan tangent à une surface d'équation z=f(x,y) (GeoGebraTube)
💻Surface d'équation z=f(x,y) en utilisant matplotlib (Sage Cell Server)
💻Plan tangent à une surface (Sage Cell Server)
💻Surface définie implicitement(Sage).
💻Surface définie implicitement et plan tangent.(Sage)
Minimisation du coût des matériaux constituant une boîte.
Minimisation du coût des matériaux d'une boîte à dimensions contraintes.
Minimisation de AP²+BP²+CP²
Probabilités

📃Compléments sur les variables aléatoires réelles finies
Somme de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi de bernoulli.
Représentation graphique de la loi Binomiale.
Planche de Galton variable.
💻Pour n variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant la même loi de Bernoulli, recherche de l'effectif n tel que la moyenne soit dans un intervalle de fluctuation donné à un seuil donné.

📃Probabilités sur un univers dénombrable
Exercice interactif sur les diagrammes de Venn (Utah State University, Java requis)
💻Première apparition d'un mot particulier en tapant au hasard sur une machine à écrire (Sage Cell Server)
💻Fréquences de la plus longue idemséquence pour 200 lancers d'une pièce équilibrée (Sage Cell Server)

📃Variables aléatoires réelles discrètes
Représentation graphique de la loi géométrique (GeoGebraTube)
Représentation graphique de la loi de Poisson (GeoGebraTube)
Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson (GeoGebraTube)

Synthèses

📃Injectif et/ou surjectif
📃Expression analytique de certaines transformations du plan
📃Espaces vectoriels et matrices.
📃Synthèse sur les matrices carrées.
Synthèses

📃Trigonométrie
📃Calculs sur les développements limités
📃Calculs d'intégrales
📃Les relations de comparaison : domination, équivalence, négligeabilité
📃Les formules de Taylor au programme de TSI


Informatique :
Récursivité :
Suite de Syracuse.
💻Arbre des appels de fonction lors du calcul récursif des coefficients binomiaux.
💻Etats successifs de la pile des appels lors du calcul récursif des coefficients binomiaux (empilage-dépilage).
💻Parcours de l'arbre binaire des appels de fonction lors du calcul récursif des coefficients binomiaux (empilage-dépilage).
💻Etats successifs de la pile des appels lors du calcul récursif des termes de la suite de Fibonnacci (empilage-dépilage).
💻Parcours de l'arbre binaire des appels de fonction lors du calcul récursif des termes de la suite de Fibonacci (empilage-dépilage).
💻Etats successifs de la pile des appels dans le calcul récursif de la suite de premier terme 1 et dont chaque terme est la somme des précédents. (empilage-dépilage).
💻Parcours de l'arbre des appels de fonction lors du calcul récursif de la suite de premier terme 1 et dont chaque terme est la somme des précédents (empilage-dépilage).
Tri :
💻Etats successifs de la liste lors du tri par insertion.
💻Arbre des appels de fonctions et des pivots lors du tri rapide d'une liste de valeurs numériques.
💻Etats successifs de la liste lors de l'application de la fonction partition pour le tri-rapide en place.
💻Parcours de l'arbre des appels et concaténations lors du tri rapide d'une liste de valeurs numériques.
💻Parcours de l'arbre des appels et des fusions lors du tri fusion d'une liste de valeurs numériques.

Pour coder chez soi :
Versions portables de Python incluant les modules utilisés couramment en mathématiques : Pyzo ou WinPython ou Python portable + sympy
En ligne :
http://brython.info/tests/editor.html
http://www.skulpt.org/
http://shell.appspot.com/
http://live.sympy.org/
https://sagecell.sagemath.org/
et bien d'autres ...