Cours et outils mathématiques

CPGE TSI2

Le site de la prépa TSI du Mans.

📃Compétences et programme. (programmes officiels TSI1 et TSI2)

📃Aide-mémoire Python au service des mathématiques : numpy, scipy, sympy.

📃Logique mathématique

📃Synthèse sur les polynômes

Algèbre linéaire et géométrie euclidienne	Analyse, géométrie différentielle et probabilités
📃 Injectif et/ou surjectif 📃 Opérations sur les lignes ou les colonnes d'une matrice 📃 Compléments d'algèbre linéaire ✎ Produit matriciel vu comme combinaison linéaire de colonnes. (GeoGebraTube) : gif animé ✎ Changement de base et opérations matricielles. (GeoGebraTube) ✎Endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 2 : parallélogramme et configuration de Thalès. ✎Projection sur un plan parallèlement à une droite. (GeoGebraTube) 💻Base du noyau, rang et base de l'image d'une matrice par Sympy Live 💻Base du noyau, rang et base de l'image d'une matrice par Sage Cell Server 💻Echelonnement et réduction en lignes d'une matrice augmentée par la méthode du pivot de Gauss Sage Cell Server source : pivot_matrice_augmentee.py 💻Echelonnement et réduction par opérations matricielles à gauche (GA=R) : lien Sympy Live ou Sage Cell Server source : pivot_GA=R.py 💻Exemple de changement de base pour les polynômes : lien Sympy Live ou Sage Cell Server source : chgt_de_base_poly.py 📃 Déterminants 💻Calcul récursif du déterminant d'une matrice carrée 📃 Réduction d'endomorphismes ✎ Endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 2. (GeoGebraTube) ✎Champ de vecteurs associé à un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 2. (GeoGebraTube) ✎ Méthode de la puissance itérée. (GeoGebraTube) 💻Réduction matricielle par Wolfram Alpha 💻Réduction matricielle par Sympy Gamma 💻Suites définies par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 (Wolfram Alpha) ✎Suite définie par une relation de récurrence linéaire homogène d'ordre 2 (GeoGebraTube) 📃 Suites définies par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 VS solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2	📃 Synthèse sur les nombres complexes 📃 Expression analytique de certaines transformations du plan Racines n-ièmes d'un nombre complexe : ✎ dans le plan complexe (GeoGebraTube) 💻forme exponentielle Sympy Live, racines_n_iemes.py 💻forme algébrique Sage Cell, racines_n_iemes_forme_algebrique.py 📃 Limites 📃 Trigonométrie 📃Calculs sur les développements limités 📃 Fonctions puissances VS fonctions exponentielles 📃 Régularité des fonctions 📃 Les relations de comparaison : domination, équivalence, négligeabilité 📃 Fonctions vectorielles et courbes paramétrées ✎ Courbe de Bezier (Sage Cell Server) (GeoGebraTube) ✎ Cycloïdes (GeGebraTube) 💻Courbe paramétrée (Matplotlib sur Sage Cell Server) 💻Courbe paramétrée et vecteur vitesse (Sage Cell Server) ✎ Courbe paramétrée (GeoGebraTube) 💻Dérivation formelle (Sympy Gamma) 💻Développement limité en 0 (Sympy Gamma) 💻Développement limité en a (Sage Cell Server) 📃 Calculs d'intégrales 📃 Intégration d'une fonction continue sur un intervalle 💻Intégration numérique par la méthode des trapèzes 💻Primitive formelle (Sympy Gamma) 💻Intégration formelle (Sympy Gamma)
	Suites numériques ✎ Suite définie par une relation de récurrence du type u_n₊₁=f(u_n) GeoGebraTube 💻Suite définie par une relation de récurrence du type u_n₊₁=f(u_n) (Sage Cell Server): Code utilisant numpy et matplotlib. ✎Approximation des solutions de l'équation f(x)=0 par la méthode de Newton. ✎Approximation des solutions de l'équation f(x)=0 par la méthode de dichotomie. 📃 Séries numériques ✎ Zénon : paradoxe de la dichotomie. (GeoGebraTube) ✎ Série géométrique réelle. (GeoGebraTube) ✎ Série géométrique complexe. (GeoGebraTube) ✎ Série alternée. (GeoGebraTube) 💻Sommation numérique (Sympy Live) 💻Sommation formelle (Sympy Gamma) 💻Développement décimal illimité périodique d'un rationnel, Sage Cell Server, source. 📃 Séries entières 💻Sommation formelle (Sympy Gamma) 💻Widget series Wolfram Alpha ✎ Série entière de variable réelle. (GeoGebraTube) ✎Série entière de variable complexe. (GeoGebraTube) 📃Séries de Fourier ✎ Dualité temps-fréquence. (GeoGebraTube) ✎ Série de Fourier. (GeoGebraTube) ✎ Série de Fourier d'une fonction impaire.(GeoGebraTube) ✎ Série de Fourier d'une fonction paire.(GeoGebraTube) 💻 Pour tester la convergence ponctuelle d'une série de Fourier (SageCellServer) 💻 Calcul formel des coefficients de Fourier (SageCellServer) 💻 Calcul formel des coefficients de Fourier pour une fonction paire (SageCellServer) 💻 Calcul formel des coefficients de Fourier pour une fonction impaire (SageCellServer)
	📃 Equations différentielles ✎ Equation différentielle linéaire du premier ordre : méthode d'Euler.(GeoGebraTube) ✎ Equation différentielle linéaire du premier ordre : solution exacte. (GeoGebraTube) ✎ Courbe paramétrée par e^(zt) 💻 Solution formelle d'une équation différentielle linéaire avec second membre, avec ou sans conditions initiales (Sympy Live) 💻 Méthode d'Euler pour les équations différentielles d'ordre 1 : solutions réelles (SageCellServer) 💻 Méthode d'Euler pour les équations différentielles d'ordre 1 : solutions complexes (SageCellServer) ✎ Equation différentielle linéaire du second ordre.(GeoGebraTube) 💻 Méthode d'Euler pour les équations différentielles d'ordre 2 (SageCellServer) 💻 Solutions formelles d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre avec ou sans conditions initiales (Sympy Live) ✎ Système différentiel linéaire à coefficients constants. (GeoGebraTube) 💻 Solution formelle d'un système différentiel linéaire avec condition initiale (Sympy) 💻 Méthode d'Euler pour un système de 3 équations différentielles du premier ordre : courbe intégrale 3D (SageCellServer)
Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens 📃Structure préhilbertienne ✎ Inégalité de Cauchy-Schwarz (GeoGebraTube) Les étapes de l'algorithme de Gram-Schmidt en gif animé 💻Dans Rⁿ, orthonormalisation de Gram-Schmidt, projection et distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie: Sympy live, code utilisant sympy, code utilisant numpy. 💻Pour les espaces de fonctions, orthonormalisation de Gram-Schmidt, projection et distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie: Sympy Live ou Sage Cell Server source : projection_pour_les_fonctions.py ✎Pour tester des droites de régression. 📃Isométries d'un espace euclidien ✎ Isométrie vectorielle d'un espace euclidien de dimension 2. (GeoGebraTube) ✎Isométrie vectorielle d'un espace euclidien de dimension 3. (GeOGebraTube) 💻Classification du groupe orthogonal en dimension 2 (Sympy) 💻Classification du groupe orthogonal en dimension 3 (Sympy) 📃 Synthèse sur les matrices. 📃 Matrice de coordonnées dans une base	📃 Les formules de Taylor au programme de TSI 📃 Fonctions de plusieurs variables ✎ Surface d'équation z=f(x,y), applications partielles (GeoGebraTube) ✎ Plan tangent à une surface d'équation z=f(x,y) (GeoGebraTube) ✎ Tangente à une ligne de niveau d'équation f(x,y)=0 (GeoGebraTube) ✎ Plan tangent à une surface d'équation f(x,y,z)=0 (GeoGebraTube) 💻Surface d'équation z=f(x,y) en utilisant matplotlib (Sage Cell Server) 💻Plan tangent à une surface (Sage Cell Server) 💻Surface définie implicitement(Sage). 💻Surface définie implicitement et plan tangent.(Sage) ✎ Minimisation du coût des matériaux constituant une boîte. ✎ Minimisation du coût des matériaux d'une boîte à dimensions contraintes. ✎ Minimisation de AP²+BP²+CP²
	Probabilités 📃 Dénombrement 📃Compléments sur les variables aléatoires réelles finies ✎ Exercice interactif sur les diagrammes de Venn ✎ Somme de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi de bernoulli. ✎Représentation graphique de la loi Binomiale. ✎Planche de Galton variable. ✎Couple de variables aléatoires : droite de régression pondérée par les probabilités. 💻Pour n variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant la même loi de Bernoulli, recherche de l'effectif n tel que la moyenne soit dans un intervalle de fluctuation donné à un seuil donné. 📃Probabilités sur un univers dénombrable 💻Première apparition d'un mot particulier en tapant au hasard sur une machine à écrire (Sage Cell Server) 💻Fréquences de la plus longue idemséquence pour 200 lancers d'une pièce équilibrée (Sage Cell Server) 📃Variables aléatoires réelles discrètes ✎ Représentation graphique de la loi géométrique (GeoGebraTube) ✎ Représentation graphique de la loi de Poisson (GeoGebraTube) ✎ Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson (GeoGebraTube)

Informatique :

📃Le programme officiel
📃 Algorithmes à connaître
💻Arbre du parcours en largeur d'un graphe orienté
💻Arbre des appels successifs lors du parcours en largeur d'un graphe orienté
💻Parcours de l'arbre du jeu de NIM
💻Ecriture illimitée périodique d'un rationnel en base n

Pour coder chez soi :

Versions portables de Python incluant les modules utilisés couramment en mathématiques : Pyzo ou WinPython ou Python portable + sympy
En ligne :

http://brython.info/tests/editor.html
http://www.skulpt.org/
http://shell.appspot.com/
http://live.sympy.org/
https://sagecell.sagemath.org/
https://console.basthon.fr/
et bien d'autres ...