Algèbre
La liste des thèmes figurant ci-dessous n'est en aucun cas exhaustive !
| Structure | Exemples d'objets | Exemples de morphismes |
| Groupe | \( (
\mathbb Z ; + ) \) ; \( ( \mathbb R ^+ ; \times )
\) \( ( \mathbb U ; \times ) \) Complexes de module égal à 1 \( ( \mathbb U _n ; \times ) \) Racines n-ièmes de l'unité Ensemble des Homothéties-Translations muni de la composition Similitudes muni de la composition \( (GL(E) ; \circ) \) et \( (GL_n (\mathbb K) ; \circ ) \): Groupe linéaire \( (GL_n ^+ (\mathbb R) ; \circ ) \) Matrices de determinant strictement positif \( (S_n (\mathbb K) ; \circ ) \) Groupe spécial linéaire (det=1) \( (O(E) ; \circ) \) et \( (O_n (\mathbb K) ; \circ ) \): Groupe orthogonal \( (SO(E) ; \circ) \) et \( (SO_n (\mathbb K) ; \circ ) \) Groupe spécial orthogonal |
exp :
\( ( \mathbb R ;+) \rightarrow ( \mathbb R ^+;
\times) \) \( x \mapsto e^x \) \( ( \mathbb R ;+) \rightarrow ( \mathbb U; \times) \) \( x \mapsto e^{ix} \) module : \( ( \mathbb C ;\times) \rightarrow ( \mathbb R ^+; \times) \) \( z \mapsto \mid z \mid \) Det : \( ( M_n ( \mathbb K ) ;\times) \rightarrow ( \mathbb R ; \times) \) |
| Anneau | \( (
\mathbb Z ; + ;\times ) \) \( ( \mathbb Z /n\mathbb Z ; +; \times) \) \( ( M_n( \mathbb R ) ; +; \times) \) |
|
| Corps | \( (
\mathbb Q ; + ;\times ) \) \( ( \mathbb R ; + ;\times ) \) \( ( \mathbb C ; + ;\times ) \) p étant un nombre premier \( ( \mathbb Z /p\mathbb Z ; +; \times) \) |
Conjugaison : \( ( \mathbb C ; + ;\times ) \rightarrow ( \mathbb C ; + ;\times ) \) |
| Espace vectoriel | Vecteurs
du plan, vecteurs de
l'espace \( \mathbb K _n [X] \) Polynomes de degré n à coefficients dans \( \mathbb K \) Suites numériques Fonctions numériques \( M_n ( \mathbb R ) \) Noyau, Image , théorème du rang Solutions d'une équation différentielle linéaire homogène |
Projecteurs Matrices de passage, réduction, diagonalisation Transposition (isomorphisme) Trace |
| Espace vectoriel normé | Base orthonormale Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt |
Matrices orthogonales Symétries, rotations Diagonalisation dans une base orthonormée : quadriques |
| Espace affine | Solutions d'une équation
différentielle linéaire avec second membre Ensemble des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants |
|
| Espace affine normé |